A REJEIÇÃO DO PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO E SUAS CONSEQUÊNCIAS NA ARITMÉTICA DE HEYTING

NA TRANSIÇÃO DO SÉCULO XIX PARA O SÉCULO XX, A MATEMÁTICA CONQUISTOU DESENVOLVIMENTOS IMPORTANTES. CONTUDO, A ESSES DESENVOLVIMENTOS, SEGUIU-SE A DESCOBERTA DE PARADOXOS, ENTRE ELES OS CONHECIDOS PARADOXOS DE RUSSELL E DE CANTOR, QUE ABRIRAM AS DISCUSSÕES SOBRE OS FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA. ESTAS DISCUSSÕES VISAVAM ENCONTRAR UMA FUNDAÇÃO SEGURA, LIVRE DE ERROS E IMPRECISÕES, PARA ESTA CIÊNCIA. O INTUICIONISMO, UMA ALTERNATIVA PARA A MATEMÁTICA CLÁSSICA, TEVE ORIGEM NAS IDEIAS CONSTRUTIVISTAS EXPOSTAS PELO MATEMÁTICO HOLANDÊS L. E. J. BROUWER, E TINHA COMO CONSEQUÊNCIA A REJEIÇÃO DO PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO. TAL REJEIÇÃO ESTÁ BASEADA , SOBRETUDO, NA TESE DE QUE OS OBJETOS MATEMÁTICOS SÃO CONSTRUÇÕES MENTAIS E, POR CONSEGUINTE, NA REJEIÇÃO DE UM ÂMBITO SUPRASSENSÍVEL E PRÉ-EXISTENTE DE ENTES MATEMÁTICOS. ASSIM, O OBJETIVO DO PRESENTE TRABALHO É MOSTRAR QUE ESSA TESE DEPENDE DO MODO PELO QUAL BROUWER COMPREENDIA TRÊS CONCEITOS FUNDAMENTAIS PARA A MATEMÁTICA, A SABER, INFINITO, VERDADE E EXISTÊNCIA. A SEGUIR, MOSTRAREMOS AS CONSEQUÊNCIAS DA REJEIÇÃO DO TERCEIRO EXCLUÍDO NA ARITMÉTICA. VEREMOS QUE, PELO MENOS NO CASO DA ARITMÉTICA, A REJEIÇÃO DO TERCEIRO EXCLUÍDO NÃO SERIA SUFICIENTE PARA EVITAR INCONSISTÊNCIAS. DISCUTIREMOS AS TRADUÇÕES DE DUPLAS NEGAÇÕES APRESENTADAS POR KOLMOGOROV, GÖDEL E GENTZEN E, POR FIM, APRESENTAREMOS UMA PROVA DA EQUICONSISTÊNCIA DA ARITMÉTICA INTUICIONISTA E CLÁSSICA.