Observações sobre matemática e comprometimento ontológico

Neste trabalho, é estudada a questão de um possível comprimetimento ontológico da matemática padrão (ou seja, aquela que pode ser erigida com base na teoria de conjuntos Zarmelo-Fraenkel (ZF) com o axioma da fundação e eventualmente o da escolha) com uma noção de indivíduo. Usualmente, parte-se da chamada hierairquia cumulativa, que alguns matemáticos como Gödel consideram clara e intuitiva, e tenta-se formular uma axiomática que tente captá-la tão iprecisamente quanto se possa. Disso resulta, falando de forma abreviada, a axiomática de Zermelo-Fraenkel por exemplo, desde que certas restrições sejam obedecidas. O que desejamos sustentar é que, resultante de tal axiomatização, há o comprometimento com um conceito de indivíduo: todo conjunto é idêntico a si próprio e a nada mais, e se dois conjuntos são distindtos, há um conjunto (extensionalmente, uma propriedade) ao qual um deles pertence e o outro não (por exemplo, o conjunto unitário correspondente). Em suma, na matemátiva padrão vale alguma forma de um princípio conhecido desde Leibniz como princícpio da identidade dos indiscerníveis que, em resumo, asserta que não pode haver entidades - conjuntos - que difiram apenas numericamente. O tratamento que se dá, dentro do escopo da matemática padrão, a entidades indiscerníveis exige que se postule condições adicionais que permitam tratar a entidades indiscerníveis exige que se postule condições adicionais que permitam tratar conjuntos (ou os Ur-elementos, se a teoria os admitir) como indiscerníveis, por exemplo via a consideração de condições de invariância por automorfismos de uma certa estrutura. Em outras palavras, entidades indistinguíveis somente podem ser consideradas no contexto de determinadas estruturas erigidas em ZF. Deste modo, indiscernibilidade é sempre indiscernibilidade relativa a uma certa estrutura. Porém, no contexto de 'toda' a teoria ZF, ou seja, olhando tais entidades 'de fora' da estrutura, elas nada mais são que conjuntos usuais, logo indivíduos na acepção que descrevemos acima. Este tipo de análise tem implicações filosóficas importantes, algumas das quais apontadas neste trabalho. POr exemplo, há auytores que consideram que uma adequada linguagem para a física quântica (quando houver uma) deverá considerar que as entidades quânticas - 'partículas´ elementares - podem ser absolutamente indiscerníveis right from the start. Ou seja, devem ser tomadas como tais desde o princípio, e não 'feitas indiscerníveis' por meio da introdução de condições de simetria, por exemplo. Um tratamento 'conjuntista' de coleções de tais entidades se afigura uma questão relevante e, aparentemente, como tem sido defendido por alguns autores, tais coleções não obedeceriam axiomas como os de ZF devido à indiscernibilidade de seus elementos. Assim, um estudo da espécie de 'comprimetimento ontológico' da matemática padrão, se é que há um (o que contrariaria posições como a de Mario Bunge, por exemplo) torna-se relevante, e é precisamente esta questão que é discutida de forma preliminar neste estudo. Salientamos que, no decorrer de nosso trabalho, percebemos a grande complexidade do assunto que nos propusemos estudar, e certamente não esperamos que nosso trabalho possa dar qualquer resposta definitiva ao tema. Porém, o seu desenvolvimento nos deu oportunidade de conhecer muito dos alicerces da matemática padrão de de sua filosofia. Assim, esta dissertação deve ser tomada como um primeiro passo na direção de um estudo mais avançado acerca dos fundamentos da matemática e de seu pressuspostos.