Platonismo e naturalismo em matemática: os axiomas da teoria dos conjuntos

A demonstração é a principal atividade de um matemático. Na matemática, a maioria das proposições que são aceitas como verdadeiras possui uma demonstração, em outras palavras, é um teorema. Mas uma demonstração necessita dos axiomas para iniciar o processo demonstrativo. Na teoria de conjuntos ocorre o mesmo processo, uma vez que a teoria de conjuntos é uma teoria formal. Um axioma da teoria de conjuntos pode não ser demonstrado, mas é aceito como verdadeiro. Ou é simplesmente aceito. Este trabalho avalia os processos pelos quais os axiomas da teoria de conjuntos são aceitos, ou justificados pelo platonismo e o naturalismo na matemática. Nesse contexto, este trabalho inicia com a descrição de um estudo de caso, que são os raciocínios não-construtivos e a noção de existência na teoria de conjuntos. Escolhemos, para iniciar a nossa análise filosófica, o platonismo na matemática, que considera a existência de objetos matemáticos num contexto metafísico. Analisamos aqui o platonismo na matemática de Gödel e o problema epistemológico contido nesse platonismo colocado num argumento com viés da teoria causal do conhecimento. Com a impossibilidade de existir uma justificação dos axiomas da teoria e conjuntos com uma base na metafísica, através da intuição intelectual, o problema de justificar os axiomas da teoria de conjuntos persiste. O problema é encontrar uma justificação dos axiomas da teoria de conjuntos conveniente com o afazer matemático. Apresentamos, então, o naturalismo na matemática de Maddy como uma solução plausível com a prática matemática para a justificação dos axiomas da teoria de conjuntos, o que constitui um abandono do platonismo na matemática a favor de uma epistemologia matemática condizente com o cotidiano matemático.