""""TEOREMAS DE INCOMPLETUDE EM CONTEXTOS GENERALIZADOS""""

O objetivo de nosso trabalho consiste em apresentar alguns resultados concernentes a Sistemas de Demonstrabilidade. Um sistema de demonstrabilidade trabalha fundamentalmente com as noções de consistência e demonstração noções estas estudadas por Kurt Gödel em seu famoso artigo de 1931.....Neste artigo Gödel demonstrou que existem sentenças que são indecidíveis, não obstante verdadeiras, em qualquer sistema formal consistente, desde que o sistema contenha uma porção suficiente de aritmética e a fundamente do ponto de vista lógico. Dito de outra forma, Gödel construiu uma sentença dentro dos Principia Mathematica, de Russell e Whitehead, onde tanto ela como sua negação não são demonstráveis no sistema. Como uma delas deve ser verdadeira na interpretação standard da aritmética, temos assim uma sentença verdadeira que não é demonstrável.....Este resultado, conhecido como Primeiro Teorema da Incompletude, revolucionou toda a matemática, pois Hilbert acreditava que com o formalismo matemático usual todas as sentenças verdadeiras pudessem ser demonstradas.....No artigo citado, Gödel obteve outro resultado interessante que ficou conhecido como o Segundo Teorema de Incompletude. Gödel demonstrou com este teorema que qualquer sistema formal supostamente consistente, no qual a aritmética possa ser fundamentada logicamente, não consegue demonstrar sua própria consistência, em outras palavras a sentença que afirma a consistência do sistema não pode ser demonstrada neste mesmo sistema. ....Em 1952 o lógico Leon Henkin aplicando o método diagonal à aritmética construiu uma sentença que afirma sua própria demonstrabilidade e assim formulou o seguinte problema: desde que esta sentença afirma sua própria demonstrabilidade ela é ou verdadeira e demonstrável ou falsa e não demonstrável. Existe um meio de decidir entre estas duas possibilidades?....Este problema permaneceu em aberto por três anos até que o lógico M. H. Löb o resolveu. O resultado de seu teorema, o qual leva o seu nome, nos mostra que a sentença de Henkin é verdadeira e demonstrável. Destes resultados matemáticos nasceu o sistema modal G ou GL. ....O fato do sistema G não trabalhar com os conceitos clássicos da lógica modal não significa que o sistema não tenha nada a ver com os outros sistemas modais. De fato, o sistema G contém os sistemas modais K e K4. Isto não significa, porém, que G seja compatível com todos os sistemas modais existentes. Para dar um exemplo, não é possível juntar G com o sistema S4 sem gerar inconsistência. ....Assim nasceu a lógica da demonstrabilidade. Lógicos como George Boolos, D. H. J. de Jongh, Robert Solovay, entre outros, desenvolveram o sistema G como é conhecido usualmente. É surpreendente que este desenvolvimento só tenha se dado na década de 70. O próprio Gödel em um pequeno artigo de 1933 sugeriu este desenvolvimento.....Sobre estes assuntos é que versa este trabalho. Através de sistemas abstratos de demonstrabilidade pretendemos demonstrar os teoremas de Gödel, de Tarski e de Löb, que são os resultados mais importantes da tese.